什么是圆盘定理

忘掉那些复杂的数学符号，我们先用一个比喻来理解。

想象一个“引力游戏”

想象一个平面上有几个大质量的星球，我们称它们为“主星”。每个主星都有自己的“引力范围”。除了这些主星，还有一些环绕它们的小行星。

• 主星 (Star)：这就是矩阵对角线上的元素。它们是每个圈的圆心。
• 引力范围 (Gravitational Field)：每个主星的引力能影响多远，取决于它所在行的其他“随从”行星。我们把同一行里，除了主星自己以外所有随从的“质量”加起来，这个总和就是引力范围的半径。
• 小行星 (Asteroid)：这就是矩阵的特征值。它们是我们要找的目标。

格申圆盘定理说的就是：所有的小行星（特征值），都必然落在这个由所有主星的“引力范围”所组成的星系（所有圆盘的并集）之内。

换句话说，它没告诉我们每个特征值的精确位置，但它划定了一个肯定能找到它们的区域。

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从比喻回到数学

现在我们把上面的比喻翻译成数学语言。

对于一个 的方阵 ：

格申圆盘定理的内容：

1. 画圆心：在复平面上（可以暂时就想成普通的x-y坐标平面），把矩阵对角线上的元素 一个个地标出来。这些点就是我们即将要画的个圆的圆心。
   • 圆心 1:
   • 圆心 2:
   • …
   • 圆心 n:
2. 算半径：对每一个圆心，计算它对应圆的半径。
   • 第 个圆的半径 ，等于第 行所有非对角线元素的绝对值之和。
   • 半径 1:
   • 半径 2:
   • …
   • 半径 i:
3. 画圆盘：以 为圆心，以 为半径，画一个圆盘（实心圆）。这样我们就得到了 个“格申圆盘”。
4. 定理结论：矩阵 的所有特征值（总共有 个）必定都落在这 个圆盘构成的区域之内（即所有圆盘的并集）。

重要提示：

• 定理不保证每个圆盘里都恰好有一个特征值。
• 可能一个圆盘里有好几个特征值，而另一个圆盘里一个都没有。
• 它只是说，把所有圆盘的范围合在一起，这个总范围一定能网罗住所有的特征值。

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来个具体的例子

我们来看一个 3x3 的矩阵 ：

我们来给它的特征值“划地盘”：

1. 第一行 (Row 1):
   • 圆心：对角线元素是 。
   • 半径：行内其他元素的绝对值之和是 。
   • 圆盘 D1：以 为中心，半径为 的圆。范围是 。
2. 第二行 (Row 2):
   • 圆心：对角线元素是 。
   • 半径：行内其他元素的绝对值之和是 。
   • 圆盘 D2：以 为中心，半径为 的圆。范围是 。
3. 第三行 (Row 3):
   • 圆心：对角线元素是 。
   • 半径：行内其他元素的绝对值之和是 。
   • 圆盘 D3：以 为中心，半径为 的圆。范围是 。

结论：矩阵 的三个特征值，我们不知道具体是多少，但我们百分之百肯定，它们一定落在 D1、D2、D3 这三个圆盘所覆盖的区域里。也就是在区间 这个并集之内，化简后就是 。

（实际上，这个矩阵的特征值约等于 , , ，完全在我们预测的范围内！）

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它有什么用？

你可能会问，只知道一个大概范围有什么用？

1. 快速估算：在很多工程和科学问题中，我们不需要知道特征值的精确值，只需要知道它的大概范围，比如判断它是不是正数，或者离 有多远。格申圆盘定理提供了一个计算成本极低的方法。
2. 理论证明：就像你在上一个问题中看到的，它可以用来证明某些矩阵的性质。例如，如果一个矩阵的所有格申圆盘都不包含原点 ，那我们就能立刻断定，这个矩阵的特征值肯定没有 ，因此该矩阵是可逆的！这是一种非常强大的证明工具。

定理的数学证明

当然可以。格申圆盘定理的证明非常巧妙，而且只需要用到特征值和绝对值不等式的一些基本性质。

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证明目标

定理内容：对于任意 复数矩阵 ，它的每一个特征值 都必定落在由 个格申圆盘构成的并集区域内。其中第 个圆盘 的圆心是对角元 ，半径是该行所有非对角元绝对值之和 。

用数学语言描述，任何特征值 都满足：

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证明过程

第 1 步：从特征值的定义出发

我们从最根本的定义开始。如果 是矩阵 的一个特征值，那么必然存在一个与之对应的非零向量 （称为特征向量），使得它们满足下面的方程：

其中 ，并且因为 是非零向量，所以它的分量 不全为零。

第 2 步：将方程展开到每一行

上面的矩阵方程可以写成一个包含 个线性方程的方程组。我们来看第 行对应的方程：

这个式子是把矩阵 的第 行和向量 相乘得到的结果。

第 3 步：分离对角线元素

现在，我们把左边的求和式中，包含对角元 的那一项单独拿出来：

可以简写为：

移项整理一下，把所有带 的项都放到一边：

第 4 步：引入证明的关键——找到“最大”的分量

这是整个证明中最核心的一步。因为特征向量 不是零向量，所以它的分量中至少有一个不为零。这意味着，必然存在一个绝对值最大的分量。

我们假设这个绝对值最大的分量是 。也就是说，我们选取一个索引 (从 到 )，使得：

因为 非零，所以我们知道 。

第 5 步：将第 4 步的结论应用到第 3 步的方程中

我们在第 3 步得到的方程对任意一行 都成立，那么它自然对我们刚刚选出的第 行也成立。我们把 换成 ：

第 6 步：两边取绝对值，并使用三角不等式

现在，我们对上式两边同时取绝对值：

左边可以拆开：

对于右边，我们使用三角不等式（一个和的绝对值小于或等于绝对值的和）：

把上面几个式子合起来，我们得到：

第 7 步：再次利用“最大”分量的性质

回到第 4 步，我们已经知道 是所有分量绝对值中最大的，即 。所以，我们可以对上一步不等式的右边进行放缩：

结合第 6 步，我们得到：

第 8 步：得到最终结论

因为我们知道 ，所以我们可以放心地在不等式两边同时除以 ，不等号方向不变：

让我们来解读一下这个最终的不等式：

• 是第 个格申圆盘的圆心。
• 是第 个格申圆盘的半径。
• 是特征值 到圆心 的距离。

这个不等式说明，特征值 到圆心 的距离小于或等于半径。这恰恰证明了：特征值 位于以 为圆心、以 为半径的圆盘之内。

由于我们从一个任意的特征值 开始推导，证明了它必然落在某一个（由其特征向量最大分量所在的行决定）格申圆盘中，所以可以得出结论：矩阵 的所有特征值都位于所有 个格申圆盘的并集之中。

证明完毕。

强化学习种证明r可解

我们使用格申圆盘定理来证明矩阵 总是可逆的。

这个证明的核心思路是：

如果我们可以证明数字 0 不在任何一个格申圆盘内，那么 0 就不可能是这个矩阵的特征值。一个没有零特征值的矩阵一定是可逆的。

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预备知识回顾

1. 矩阵可逆性：一个方阵可逆，当且仅当它的所有特征值都不为零。
2. 格申圆盘定理：对于矩阵 ，它的每个特征值都位于某个格申圆盘 内。圆盘 的圆心是 （对角元），半径是 （该行非对角元绝对值之和）。
3. 我们的前提：
   • 是一个随机矩阵，因此 并且每一行之和为 ()。
   • 是折扣因子，满足 。

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证明步骤

第 1 步：确定我们要分析的矩阵

我们令 。我们的目标就是证明 是可逆的。

第 2 步：找出 的对角元和非对角元

为了应用格申圆盘定理，我们需要确定 的对角元（圆心）和非对角元（用于计 算半径）。

• 对角元 (圆心)：

所以，第 个格申圆盘的圆心是 。

• 非对角元：

第 3 步：计算格申圆盘的半径

第 个圆盘的半径 是第 行所有非对角元绝对值的和：

因为 是随机矩阵，每一行的和为 ，即 ，所以 。

代入半径公式，得到：

第 4 步：证明 不在任何一个圆盘内

一个点（比如 ）如果在一个圆盘内，那么这个点到圆心的距离必须小于或等于圆的半径。

• 第 个圆盘的圆心是 。
• 第 个圆盘的半径是 。

我们来比较一下“圆心到 的距离”和“半径”的大小。

圆心到 的距离是 。
因为 ，且 ，所以 。
因此圆心 必然是正数，距离就是它本身：

现在，我们来比较这个距离和半径 ：

• 距离：
• 半径：

因为 ，必有 ，同时在两边都减去相同的数 不等号方向不变：

也就是

（圆心到 的距离“严格大于”圆的半径）

这个结论对矩阵的每一行 都成立。

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结论

我们已经证明，对于矩阵 的任意一个格申圆盘，其圆心到原点 的距离都严格大于它的半径。这意味着原点 位于所有格申圆盘之外。

根据格申圆盘定理，所有的特征值都必须在这些圆盘构成的区域之内。既然 在这个区域之外，那么 ** 就不可能是矩阵 的特征值**。

因为矩阵 的所有特征值都非零，所以该矩阵必然是可逆的。

证明完毕。